Co świat zawdzięcza geniuszowi Stefana Banacha

0

Matematyka była kiedyś – sam to czytałem w jakiejś starej encyklopedii – nauką „o liczbach i figurach”. Dzieliła się na geometrię i rozmaite rachunki – arytmetykę i algebrę.

Do XVII wieku

Wtedy pojawiła się zupełnie nowa koncepcja. Jej autorami byli głównie dwaj uczeni francuscy (trudno ich nazwać po prostu matematykami, bowiem w owych czasach nie sposób mówić o tak wąskiej specjalizacji): prawnik i lingwista Pierre de Fermat – ten od najsłynniejszego chyba w historii Wielkiego Twierdzenia, udowodnionego dopiero pod koniec ubiegłego stulecia – i wielki filozof René Descartes, zwany Kartezjuszem.

Ten drugi opisał tę koncepcję w 1637 roku i dlatego on właśnie jest dziś głównie kojarzony z nowym podejściem, które od jego nazwiska nazywane jest rewolucją kartezjańską. Sprowadza się ona – jeśli idzie o matematykę – do prostej uwagi, że punktom okalającej nas przestrzeni można przypisać układy liczb. Punktom prostej – jedną liczbę, punktom płaszczyzny – pary liczb, punktom przestrzeni trójwymiarowej – trójki; i tak dalej.

To „i tak dalej” otworzyło zresztą nową perspektywę, pozwalając po niejakim czasie z sensem mówić o „niewyobrażalnych” przestrzeniach wielowymiarowych, o których do tego czasu mało kto odważał się nawet myśleć. Ale nie o to w tym momencie chodzi.

Rachunki zamiast wyobraźni

Istotą koncepcji Kartezjusza jest to, że skoro liczbom i ich układom można przypisać obiekty geometryczne, to rozumowania geometryczne można zastąpić… rachunkiem. Zamiast żmudnie prowadzić skomplikowane konstrukcje i dostrzegać zależności między figurami i bryłami, wystarczy policzyć, wyobraźnię zastąpić rachowaniem. Czasem skomplikowanym, ale wykonalnym i możliwym do sprawdzenia.

Geometria stała się zatem w gruncie rzeczy tylko innym obliczem jednej rzeczywistości matematycznej. Twierdzenia geometryczne zaczęły ściśle odpowiadać związkom między liczbami – i odwrotnie, te ostatnie zyskały naturalną interpretację w układach figur na płaszczyźnie czy brył w „zwykłej” przestrzeni.

Powstała wówczas geometria analityczna. Matematyka okazała się lasem. Mówiąc uczenie – nastąpiła zasadnicza zmiana paradygmatu, czyli najogólniejszego spojrzenia na naukę.
Zrozumieliśmy, że licząc czy kreśląc konstrukcje, mówimy o tym samym, tylko przy użyciu innego języka.

Do matematyki wkraczają funkcje

Mniej więcej w tym samym czasie, czyli w XVII w., dwaj inni geniusze – Anglik Izaak Newton i Niemiec Gotfried Leibniz – wymyślili niezależnie od siebie nową metodę badań rzeczywistości i nowy dział matematyki: analizę, czyli rachunek różniczkowy i całkowy. To był sposób na badanie zależności funkcyjnych między wielkościami zmiennymi.

Znacznie później niejaki Fryderyk Engels zauważył, że tym samym „do matematyki wkroczyły ruch i dialektyka”. Miał – wyjątkowo – rację. Wyjątkowo, bo inne jego wypowiedzi o matematyce budzą dziś (zależnie od poczucia humoru czytającego) nagłe ataki bólu zębów albo homeryckiego śmiechu.

Engels nie spostrzegł, że jednocześnie – żeby wrócić do metafory lasu – pojawiło się w matematyce nowe oddzielne drzewo. I rosło oddzielnie przez niemal 300 lat. Las znowu straciliśmy z oczu.

Pod koniec XIX wieku pojawiło się na świecie kilku matematyków, którzy – jak to często w nauce bywa – wpadli na przełomie stuleci na podobny pomysł. Byli to Niemiec David Hilbert, Węgier Frigyes Riesz, Szwed Erik Ivar Fredholm i kilku innych.

Zaczęli oni badać nie poszczególne „drzewa”, czyli funkcje i ich przebieg, ale całe zbiory funkcji o podobnych właściwościach.

Nie sposób dziś stwierdzić, który z nich pierwszy użył w odniesieniu do owych zbiorów słowa „przestrzenie”, ale to nieistotne. Ważne, że zapoczątkowało to zupełnie nowe podejście do przedmiotu badań. Podejście o doniosłości rewolucji kartezjańskiej.

Banach i jego przestrzenie

I tutaj na scenę wkraczają nasi matematycy. W latach 20. ubiegłego stulecia w Polsce pojawił się pewien fenomen. Otóż nastąpił prawdziwy wysyp talentów matematycznych i powstała słynna Polska Szkoła Matematyczna, a właściwie dwie szkoły – warszawska i lwowska.

W tej lwowskiej prym wodził słynny Stefan Banach, absolutny geniusz matematyczny, który nigdy nie ukończył żadnych studiów (bo i niczego formalnie nie studiował), pierwszym uzyskanym przez niego tytułem był zaś od razu doktorat.

Banach wraz z przyjaciółmi, wśród których był np. inny wielki matematyk Stanisław Mazur (muszę się pochwalić: był moim nauczycielem i wieloletnim szefem), wpadł na pomysł, żeby te przestrzenie funkcyjne – czyli, przypomnę, po prostu zbiory funkcji – w jakiś sposób skategoryzować i w pewien sposób „zapomnieć”, z czego się one składają.

To zresztą nie było podejście zupełnie nowe, bo już wcześniej rozpatrywano na przykład przestrzenie metryczne, czyli takie, w których da się określić odległość między punktami (jak mówią matematycy – metrykę). Przy takim podejściu zupełnie nie jest istotne, czym są „naprawdę” punkty takiej przestrzeni. Tymi punktami mogą być  – w szczególności – funkcje.

Banach (nie on jeden) wyróżnił i badał jeszcze inne rodzaje przestrzeni. Po pierwsze, unormowane, czyli takie, w których określona jest dla każdego punktu pewna nieujemna liczba (zwana normą). Te przestrzenie są bardzo blisko związane z przestrzeniami metrycznymi, ale jednak logicznie są czymś troszkę innym.

Po drugie, interesował się przestrzeniami liniowymi – czyli takimi, w których punkty można jakoś dodawać, odejmować i mnożyć przez liczby.

Po trzecie, ciekawiły go przestrzenie zupełne, które w dużym przybliżeniu można uznać za niemające żadnych „dziur”. Na przykład zbiór wszystkich liczb rzeczywistych stanowi przestrzeń zupełną, ale zbiór liczb wymiernych (czyli ułamków) już nie.

Banach wziął pod uwagę przestrzenie, które jednocześnie są unormowane, liniowe i zupełne. Nazwał je – trochę nieskromnie – przestrzeniami typu B, upamiętniając w ten sposób własne nazwisko. Dziś zresztą nazywa się je wprost przestrzeniami Banacha.

Na marginesie – zupełnie niezależnie od Banacha na całkiem podobny pomysł wpadł Amerykanin Norbert Wiener (zwany „ojcem cybernetyki”). Ale pierwszą w historii monografią, w której te przestrzenie zostały porządnie opisane, jest słynna „Teoria operacji liniowych” Banacha z 1932 roku. Zwróćmy uwagę: niemal dokładnie 300 lat po dziele Kartezjusza.

Nowa rewolucja ze Lwowa

Z chwilą wydania tej książki nie tylko zaczyna się historia zupełnie nowej dyscypliny matematycznej, zwanej dziś analizą funkcjonalną, ale także – jak właśnie w wypadku rewolucji Kartezjusza – mamy do czynienia ze zmianą paradygmatu i powstaniem całkiem nowego spojrzenia na matematykę.

Okazało się mianowicie, że po pierwsze, da się wyróżnić całe duże klasy funkcji, które stanowią przestrzenie typu B. I są to ważne klasy funkcji, ważne także w zastosowaniach praktycznych, na przykład w inżynierii.

Nowa teoria dała matematykom do ręki narzędzie badania takich klas niejako całościowo „za jednym zamachem”. Dowodząc twierdzenia, które jest prawdziwe dla abstrakcyjnej przestrzeni Banacha, dowodzimy tym samym całej masy twierdzeń o różnych zbiorach funkcji. A także, co nie bez znaczenia, o otaczającej nas rzeczywistości, bo nasza euklidesowa przestrzeń trójwymiarowa też jest przestrzenią Banacha!

Przy tym często taki ogólny dowód jest znacznie prostszy niż twierdzenia dotyczące przypadków „szczególnych”.

Po drugie, matematyka znów okazała się „lasem”. Spojrzenia na jej pojęcia z punktu widzenia dawnej geometrii, zwykłej analizy czy algebry, ponownie dają, okazuje się, tylko różne obrazy tego samego przedmiotu: rzeczywistości (matematycznej).

Twierdzenia i pojęcia geometrii mają zatem odpowiedniki nie tylko w kartezjańskim świecie liczb, ale i w banachowskim świecie funkcji. I na odwrót. 

Od stolika do atomu

I choć owa jedność przedmiotu badań jest z pewnością doniosła filozoficznie, to ważniejsze chyba jest to, że znając, powiedzmy, głęboko geometrię, mamy prawo pytać: jak to, czy inne jej twierdzenie, tłumaczy się na język funkcji?

Czym na przykład byłby w świecie przestrzeni Banacha układ współrzędnych? Jak określić dla funkcji pojęcie, dajmy na to, prostopadłości?

I najważniejsze: czy w ten sposób postępując i szukając analogii w dobrze nam już znanej dziedzinie – dowiadujemy się czegoś nowego w dziedzinie nowej? A jeszcze ważniejsze: czy badając świat matematyczny na tak wysokim poziomie abstrakcji, jak przestrzenie Banacha, dowiadujemy się w ogóle czegoś istotnego i nowego? Czegoś, co nam nigdy nie przyszło do głowy?

Odpowiedź na te wszystkie pytania okazała się pozytywna.

I dlatego te słynne wspólne biesiady i – nazwijmy rzecz po imieniu – tęgie popijawy kilkunastu młodzieńców i kilku dojrzałych mężczyzn w lwowskiej kawiarni Szkocka, podczas których mazali jakieś dziwaczne dla laika gryzmoły ołówkami na marmurowych blatach stolików i toczyli zaciekłe spory w języku całkowicie niepojętym dla siedzących obok zacnych lwowskich mieszczan – miały tak ogromne znaczenie dla współczesnej cywilizacji.

Gdyby nie one, nie ujarzmilibyśmy zapewne energii atomowej ani nie dokonalibyśmy innych równie doniosłych przełomów.

Plejada gwiazd matematycznych

Wymieńmy ich zatem. Poza Banachem i Mazurem (przeżył, zmarł w 1981 r., był czołową postacią warszawskiej matematyki powojennej) byli tam:

▪ Herman Auerbach (zm. 1942, popełnił samobójstwo, by uniknąć transportu do obozu zagłady),
▪ Zygmunt Wilhelm Birnbaum (los nieznany),
▪ Leon Chwistek (zmarł w ZSRS, 1944),
▪ Meier Eidelheit (zamordowany w 1943),
▪ Władysław Hetper (los nieznany),
▪ Mark Kac (przeżył, wyemigrował do USA, zm. 1984),
▪ Stefan Kaczmarz (zginął jako oficer w kampanii wrześniowej),
▪ Kazimierz Kuratowski (przeżył, zm. 1980),
▪ Antoni Łomnicki (rozstrzelany przez Niemców 1941),
▪ Władysław Nikliborc (przeżył, zm. 1948 podczas aresztowania przez UB),
▪ Władysław Orlicz (przeżył, zm. 1990),
▪ Józef Pepis (rozstrzelany 1941),
▪ Stanisław Ruziewicz (rozstrzelany 1941),
▪ Stanisław Saks (rozstrzelany 1942),
▪ Juliusz Paweł Schauder (zastrzelony podczas łapanki w 1943),
▪ Hugo Steinhaus (przeżył, zm. 1972),
▪ Włodzimierz Stożek (rozstrzelany 1941)
▪ Stanisław Ulam (przeżył, wyemigrował do USA, współtwórca amerykańskiej broni jądrowej, zm. 1984).

Same gwiazdy matematyki. Prawie każdy ma własne hasła w encyklopediach i każdy dokonał odkryć wielkich. Ilu z nich zamordowanych przez nazistów… Czego by jeszcze dokonali?

A co z samym Banachem? Po niezwykle barwnym i dramatycznym życiu okupacyjnym, pełnym także zaangażowania społecznego i politycznego, zapewne zostałby pierwszym powojennym ministrem oświaty; przewidywano, że zajmie to stanowisko. Niestety, rak krtani skosił tego namiętnego palacza w 1945 roku w wieku zaledwie 53 lat.

Tradycję Lwowskiej Szkoły Hugo Steinhaus przeniósł do Wrocławia, Kuratowski z Mazurem – do Warszawy, Orlicz zaś stworzył szkołę poznańską.

Bogdan Miś
Studio opinii

Artykuł ukazał się 25 lutego 2018 r. w “Gazecie Wyborczej”.
Zdjęcie tytułowe: Plac Akademicki w przedwojennym Lwowie. Na parterze budynku (tego z prawej strony) znajdowała się słynna Kawiarnia Szkocka, w której przesiadywali lwowscy matematycy ze Stefanem Banachem na czele (archiwum GW).

Poleć:

O Autorze:

Bogdan Mis

Senior polskich popularyzatorów nauki, jeden z najstarszych polskich programistów. Z wykształcenia matematyk, wieloletni wykładowca szkół wyższych. Dziennikarz. Przez wiele lat obecny na antenach Telewizji Polskiej, z której odszedł w wyniku negatywnej weryfikacji z okresie stanu wojennego. Zapraszamy do czytania artykułów Bogdana Misia na Studiu Opinii

skomentuj

Home | Direct | Dashboard | About us

Unless otherwise noted our website is using photographs from FreeDigitalPhotos.net and Wikipedia under their respective licenses

Copyright © 2015. All Rights Reserved.